1 Cet outil vous permettra de diagonaliser une matrice carrée tout en calculant la matrice de passage et son inverse. Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l’espace, alors A est diagonalisable. 0 3 2 4 est racine double (autrement dit 4 est racine de multiplicité 2 : m(4) = 2) – si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité, alors la matrice est diagonalisable Sauf que si un sous-espace propre est de dimension 4 par exemple, sa base sera constituée de 4 vecteurs : la matrice P aura donc 4 vecteurs associés à une même valeur propre. 0 ATTENTION à ne pas oublier le α !!! Ce polynôme, dont la variable est λ, est noté χM(λ) (χ est la lettre grecque chi), et est défini par. ) 0 3. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. 3 Exemple : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 8. +1) ). Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement. Tu devrais trouver comme polynôme caractéristique : (2 – λ)(λ – 4)2 1 La matrice P est alors la matrice de changement de base (ce pourquoi elle est inversible). Si une matrice A est symétrique et réelle, alors elle est diagonalisable. ( Question 2 Soit , montrer que est diagonalisable. Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). − Pour que la matrice soit diagonalisable, il faut (et il suffit) que la dimension de chaque sous-espace propre soit égale à la multiplicité de la valeur propre : — Il est donc diagonalisable, de valeurs propres 1 et 0. ) 1) On commence par calculer le polynôme caractéristique en le factorisant au maximum : les racines correspondent aux valeurs propres. | —, Pour l’exemple ci-dessus, on pourrait montrer facilement que det(A – λ Id) = (λ – 3)(λ + 1). T = Ce théorème est extrêmement important (voire le plus important du chapitre) car c’est sur lui que va se baser tout le raisonnement sur la diagonalisation ! C’est le cas que l’on a vu précédemment : — Nous avons vu que les racines du polynôme caractéristique d’une matrice étaient les valeurs propres de cette matrice. d'endomorphismes diagonalisables de E qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable[2]. avec . ( – soit le polynôme caractéristique n’est pas scindé, et alors la matrice n’est pas diagonalisable Il n’y a donc qu’une seule valeur propre, mais A n’est pas égal à 8 Id donc A n’est pas diagonalisable. = Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : Exercice 9. — Cas particulier : une seule valeur propre Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. = Diagonalisation des matrices et réduction des endomorphismes. 12 5. On rappelle qu’un sous-espace propre d’une valeur propre λ est noté Eλ et est l’ensemble constitué des vecteurs propres d’une valeur propre ainsi que du vecteur nul. U Mais avant cela, voyons un cas particulier. 7 est racine de multiplicité 4 : il faut calculer la dimension de E7. Espace propre associ e a une valeur propre 13 … De plus, une valeur propre possède plusieurs vecteurs propres. Retiens bien tout ce vocabulaire car il ne faut pas tout mélanger ! ) − La fonction eigen renvoie une liste composées de 2 éléments : Pour diagonaliser une matrice : ( + Elle est donc diagonalisable dans une base orthonormée. 3 - V – LA DIAGONALISATION D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE - -1) Pratique de la diagonalisation - - Rappels : Un polynôme est " scindé " s'il peut se factoriser entièrement en produit de polynômes du premier degré . Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. det(A – λ Id) est scindé à racines simples donc A est diagonalisable. = B 2 x I {\displaystyle u_{i}} 0 Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles, la matrice est diagonalisable et il existe une matrice de vecteurs propres unitaire, à savoir telle que . 1 est fini, toute famille 1 A noter : dans l’énoncé ci-dessus il est précisé sur car, comme on l’a vu précédemment, un polynôme peut être scindé sur mais pas sur . ⁡ 3 0 Outil pour diagonaliser une matrice. Pour les valeurs propres : — Etant donnés un espace vectoriel , et un endomorphisme de , on sait qu'une matrice de dépend de la base de dans laquelle elle est exprimée. Le cours se divise donc en 2 grandes parties : - Montrer qu'un endormorphisme ou qu'une matrice est diagonalisable - Diagonaliser effectivement cet endormorphisme ou cette matrice Pour cela nous déterminons les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres aussi appelés éléments propres. i ( | Par exemple, si on a un sous-espace de dimension 3, on peut trouver une base constituée de 3 vecteurs, si on a un sous-espace de dimension 5, il existe une base constituée de 5 vecteurs etc…. Remarque : on a vu précédemment que pour un polynôme scindé, la somme des multiplicité était égale au degré de P. Sinon cela ne marche pas… Par exemple sur l'espace ℒ(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H sur K = ℝ ou ℂ, la symétrie qui à chaque opérateur associe son adjoint est toujours ℝ-linéaire, et diagonalisable en tant que telle : les opérateurs hermitiens et antihermitiens forment deux sous-espaces vectoriels réels supplémentaires (topologiques). Considérons le produit : . 2) V eri er que la matrice D= P 1APest une matrice diagonale. − T + 2 x 1 —. {\displaystyle \operatorname {dim} (E_{2})=2\,} = Par exemple : On peut combiner les 2 cas particuliers ! Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 12 5.1. Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. = —. Le raisonnement va être basé sur le théorème suivant : — {\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}} Un polynômes est dit scindé sur le corps s’il peut s’écrire sous forme d’un produit de polynômes de degré 1 : u ) — Mais quel est le rapport de tout cela avec la diagonalisation ?? —. Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation Plan du cours 1 Eléments propres d'un endomorphisme 2 Polynôme caractéristique d'une matrice 3 Diagonalisation d'une matrice Diagonaliser une matrice diagonalisable Conditions de diagonalisabilité Exemples 4 Applications de la diagonalisation Puissance d'une matrice diagonalisable En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. A Démonstration: Soit un vecteur non nul de . premier exemple portant sur la diagonalisation d'une matrice : La matrice, définie ligne par ligne avec la fonction rbind, peut aussi être définie colonne par colonne avec la fonction cbind. 5. − Si nous voulons diagonaliser A, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. 2 3 —. ⁡ ( En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. = Quelques applications de la diagonalisation 1. ⇔ En regroupant un vecteur propre de chaque valeur propre, on obtient une base qui permet de former la matrice P. ) . ) En effet, on a la propriété suivante : — ) Remarque : parfois pour abréger, certains écrivent VP, mais cela peut signifier… Vecteurs propres ou Valeurs propres !!! Oui mais comment choisir le vecteur propre associée à une valeur propre ? Mais il est judicieux de factoriser le polynôme caractéristique à partir de ses racines. D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la … 1 On en conclut que si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre est de dimension 1, et comme il faut prendre une base de chaque sous-espace propre on ne prend qu’un seul vecteur propre de chaque sous-espace (celui que l’on veut, le plus simple étant le mieux^^). Récapitulatif des cas particuliers matrice P qui represente notre changement de variables.´ Enfin, pour terminer la diagonalisation, on calcule l’inverse de P (P est toujours inversible, il s’agit donc d’utiliser la formule vue a l’exercice 1. − Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la matrice serait la plus simple possible. Nous avons regroupé ici tous les cas particuliers que tu peux rencontrer dans les exercices. T Si certains xi sont identiques, on les regroupe, ce qui donne une multiplicité de 2, 3, 4 etc…, En revanche, si tous les xi sont différents, on dit que le polynômes est scindé à racines simples (autrement dit la multiplicité de chaque racine est 1) : Est-elle diagonalisable ? 0 u x − ( − Une matrice M ayant une unique valeur propre n’est diagonalisable que si elle est déjà diagonale avec cette unique valeur propre sur toute sa diagonale (en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010 (ISBN 978-3-64205154-8). − ) Maintenant, il ne reste plus qu’à savoir comment calculer la dimension des sous-espaces propres et en trouver une base ! 2 Cependant, les polynômes ne sont pas tous scindés : s’ils ne sont pas scindés, ils s’écriront comme le produit d’un polynôme scindé et d’un ou plusieurs polynômes de degré 2. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. . Si en revanche on prend Z, X, Y comme ordre pour P, on aura – 4, 1 et 2 pour D. – si au moins un des sous-espaces propres a une dimension inférieure à la multiplicité, la matrice n’est pas diagonalisable. Soit M2M Cela reste vrai pour tous les polynômes de degré 2 dans , ils ont tous des racines (réelles ou complexes) et on peut les factoriser, ce qui permet d’avoir des polynômes scindés. = ) La diagonalisation est la détermination effective d'une matrice de passage transformant une matrice diagonalisable en une matrice diagonale, ou la décomposition d'un espace vectoriel en une somme directe de droites stables par un endomorphisme. + I ( Si la multiplicité est 1 : pas de problème, la dimension du sous-espace propre est 1 (donc égale à la multiplicité de la valeur propre) 3ème cas particulier : Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. Cette valeur propre sera donc présente 4 fois dans la matrice D. Une étude permettrait de déterminer que les valeurs propres sont 2 et 4, et que le sous-espace propre associé à 2 (E1) est de dimension 1, et que le sous-espace propre associé à 4 (qui est noté E4) est de dimension 2. ∈ Sur la diagonalisation des matrices 2x2 vYes Coudène, 20/10/04 On sait que toute matrice A, à coe cients réels ou complexes, dont les a-v leurs propres sont toutes distinctes, est diagonalisable. On a donc MX = λ1X et MX = λ2X {\displaystyle B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{pmatrix}}} En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. est diagonalisable ssi . Parlons maintenant des sous-espaces propres. est diagonalisable. Sur chacune de ces droites, l'endomorphisme se réduit à une homothétie. La concaténation des bases des sous-espaces propres forme alors une base de vecteurs propres de l’espace (qui pourra servir à former la matrice P). ( Valeurs propres d’une matrice sym etrique r eelle. —. T Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C). , avec EN RÉSUMÉ : 3 E —, Cela peut parfois servir dans les exercices…. —. i 3 Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. On cherche les = Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. 1 On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 : Il est de dimension 2, donc est diagonalisable. Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). Les vecteurs des bases de ces sous-espaces sont bien évidemment des vecteurs propres (puisqu’ils appartiennent au sous-espace propre). A noter que pour bien comprendre ce chapitre, il faut déjà maîtriser les bases des matrices, ce pourquoi tu es vivement encouragé à regarder d’abord les chapitres correspondant. = R ( Densité des matrices diagonalisables dans ℳ, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, Palette incluant la multiplication des matrices, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagonalisation&oldid=172107839, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Il est aussi possible de déterminer directement les valeurs propres, et des bases des sous-espaces propres associés. X On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. 0 Il faut donc trouver tous les sous-espaces propres et additionner leurs dimensions pour savoir si une matrice est diagonalisable ou pas. 1 Mais il arrive que certaines racines soient, doubles, triples, quadruples etc… aux valeurs propres de la matrice Ap. Laissez des cellules vides pour entrer dans une matrice non carrées. u Valeurs propres d’un endomorphisme 12 5.2. Un polynôme est dit scindé s’il peut se mettre sous la forme d’un produit de polynômes de degré 1. T.S.V.P → = 0 Nous presentons deux applications imm´ ediates de la diagonalisation des matrices avec le´ calcul des puissances d’une matrice diagonalisable et la r´esolution des syst emes diff` ´erentiels lineaires d´ efinis par une matrice diagonalisable. Ainsi une matrice peut être diagonalisable sur mais pas sur , donc attention à l’énoncé de l’exercice ! ⁡ i 2 Si det(A – λ Id) = (λ – 5)2(λ – 7)4(λ + 12) I — 2 Prenons une valeur propre λ. Il y a au moins un vecteur propre associé par définition. C’est une condition su sante mais pas n ecessaire; en e et, la r eciproque (qui serait \si la matrice est diagonalisable alors elle Si une matrice M non diagonale a une unique valeur propre, alors elle n’est pas diagonalisable. Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. Donc kX est un vecteur propre associé à la valeur propre λ ! 3) Si la multiplicité de chaque racine correspond à la dimension du sous-espace propre, alors la matrice est diagonalisable et en regroupant les bases obtenues précédemment on forme la matrice P. On forme ensuite la matrice D comme vu ci-dessus. Vect de diagonalisation d’une matrice carr ee Ma coe cients r eels qui sont dans le cours et qu’il faut conna^ tre. En fait, M est la représentation matricielle d’un endomorphisme dans une base E, et D la représentation de ce même endomorphisme dans une base F. P est donc la matrice de passage de E dans F (voir le chapitre sur les matrices de passage pour plus de précisions). Corrigé de l’exercice 1 : Si , par par Si . − Il s’agit du cas où une matrice M n’a qu’une seule valeur propre λ. − 2 − Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. Trouver les sous-espaces propres Comme précédemment, c’est une matrice diagonale avec sur sa diagonale les valeurs propres. — 2 Comparer. Pour les trouver on va utiliser la résolution du système précédent, on avait trouvé z = -x. v {\displaystyle (A-2I_{3})X=0\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}-2&3&-1\\2&-3&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0\Leftrightarrow -2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0}, Donc ) 2 det ), puis l’` on peut verifier l’ensemble de ses r´ ´esultats en tels que : Il faut maintenant faire la même chose pour E2, on commence donc par résoudre le système : A l’aide de fonctions du sous module` numpy.linalg, d´eterminer les valeurs propres et une matrice de vecteurs propres pour : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . i . Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! Pour trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre 4, on résout : Si par exemple les valeurs propres de M sont 6 et 15, on a Sp(M) = {6 ; 15}. Nous abordons dans ce chapitre les probl`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Imaginons maintenant que l’on ait une valeur propre λ associée à un vecteur propre X, si on note Id la matrice identité : On en déduit que Ker (M – λ Id) ≠ {0}, donc M – λ Id n’est pas inversible. , avec α, x1, x2… éléments de , et n le degré de P. PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. − La somme des dimensions vaut 3, comme la dimension de l’espace, donc la matrice est diagonalisable. (Lorsque H est de dimension finie n sur K, une écriture matricielle montre que leurs dimensions sont égales respectivement à n(n + 1)/2 et n(n – 1)/2 si H est euclidien, et toutes deux égales à n2 si H est hermitien.). 0 2 1 − —, Le spectre d’une matrice M est noté Sp(M). Notations. Nousallonsénoncerdesconditions qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable. ) Un vecteur propre est un vecteur colonne, il est souvent noté X. Mais que vaut dans ce cas la matrice D ? Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. On peut supprimer la dernière ligne qui est la même que la première : On retrouve bien une droite vectorielle, de dimension 1. —. Le cas particulier que nous allons voir se retrouve souvent en exercice, et on demande souvent à le redémontrer. – soit le polynôme caractéristique est scindé, et alors la matrice PEUT être diagonalisable, mais pas forcément. , il est clair que les {\displaystyle \operatorname {dim} (E_{-3})=1\,} ( Avec cette calculatrice vous pouvez : calcul de le déterminant, le rang, la somme de matrices, la multiplication de matrices, la matrice inverse et autres. — Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. Attention qu’ici un sous-espace propre ne peut être de dimension 3 car l’autre étant au moins égal à 1, la somme serait au moins de 4, ce qui contredit une propriété vue précédemment (la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à n). Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! 1 dim On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 : . Or si la multiplicité est égale à la dimension du sous-espace, cela signifie que la somme des dimensions des sous-espaces est égale est égale au degré de P, qui est lui-même égal à la dimension de l’espace total : on retrouve le théorème vu précédemment : une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. − avec . Il faut donc prendre deux vecteurs LIBRES vérifiant cette équation, par exemple : Il est assez évident que X et Y sont libres. A —. Si dim(E5) = 2 ET dim(E7) = 4, alors la matrice A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas. Propriétés A Parlons maintenant de ce que l’on appelle les éléments propres. On rappelle que matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée : tA = A. Il faut faire beaucoup d’exercices sur ce chapitre pour bien le maîtriser, d’autant plus qu’il est très important. Appliquer la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation. Comme dim(E4) = 2, une base de E4 sera composée de 2 vecteur libres. On a vu qu’il y en avait une infinité, mais il y a un point important à remarquer : si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre associé est de dimension 1 ! } Ainsi, après avoir calculé le polynôme caractéristique et trouvé les valeurs propres, il faut factoriser le polynôme afin de connaître la multiplicité de chacune d’elle. Si. 2. 3 ) 3 dim Maintenant soit P la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes : Alors « P diagonalise A », comme le montre un simple calcul : Remarquons que les valeurs propres λk apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les colonnes propres pour former P. Soit Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. 1 Nous reprenons pas à pas les notions du chapitre « Valeurs propres, vecteurs propres », mais du point de vue plus théorique des applications linéaires. 2. v 2 λ est une valeur propre de M si et seulement si M – λ Id n’est pas inversible. Il est donc dans ce cas diagonalisable, ses deux sous-espaces propres (pour les valeurs propres 1 et –1) étant d'ailleurs ceux (pour les valeurs propres 1 et 0) du projecteur p = (s + id)/2. Avec la commande rbind(), on associe plusieurs vecteurs, chaque vecteur étant une ligne du tableau. d'endomorphismes d'un espace E est simultanément diagonalisable, c'est-à-dire s'il existe une base de E propre pour tous les 0 — 1 2 —. 3 — Il nous reste maintenant à voir comment calculer les valeurs propres, et trouver les vecteurs propres et sous-espaces propres ! Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre n en utilisant un raisonnement par récurrence. Une valeur propre ne peut pas exister sans vecteur propre et réciproquement. C'est le processus de diagonalisation. On a alors la propriété suivante extrêmement importante : — Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. – les sous-espaces propres de 4 et 9 sont de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 2 qui n’est pas égal à 3 : la matrice M n’est pas diagonalisable. X Comme M est de taille 3 x 3, X est un vecteur colonne 3 x 1 : Ce qui se résume finalement à une seule équation : z = -x, soit x + z = 0 ) Comme tu le vois, trouver la dimension d’un sous-espace propre revient à résoudre un système. Nous verrons plus tard comment calculer les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres associés, mais voyons d’abord certaines propriétés liées à la diagonalisation. x … x2 + 2x + 7 et x2 + 3x + 5 n’ont pas de racine réelle, donc ils ne sont pas factorisables dans , donc P n’est pas scindé dans . Il y a par exemple : On vérifie facilement que ⁡ Les valeurs propres de M sont les racines de son polynôme caractéristique : ) De manière générale, et si on prend comme variable x et non λ : — − Si M est diagonalisable, que vaut alors la matrice D ?? Soit M2M – mettre dans P d’abord X et Y, puis Z, et alors D aura sur sa diagonale dans l’ordre 4, 4 et 2. Sommaire : Endomorphisme non injectif de R 4. D’où le théorème suivant : — {\displaystyle (u_{i})_{i\in I}} La réciproque se montre assez facilement (tu peux t’entraîner à le faire ). } De même, chaque sous-espace propre ne peut être de dimension 2 pour les mêmes raisons (la somme des dimensions ferait 4). Soit (en dimension quelconque) p un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme idempotent : p2 = p. Il est annulé par le polynôme X2 – X = (X – 1)X, qui est scindé et à racines simples. x Il n’y a donc que 2 valeurs propres pour un espace de dimension 3. ) avec . —. Une matrice M ayant une unique valeur propre n’est diagonalisable que si elle est déjà diagonale avec cette unique valeur propre sur toute sa diagonale. − (X ≠ 0) ( Exo. La boucle est bouclée ! —. 0 12 5. — ( —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2.1. 2 est racine simple, on sait que son sous-espace propre est de dimension 1, on va donc se focaliser sur 4 qui est racine double (donc son sous-espace propre peut être de dimension 1 ou 2). Est-elle diagonalisable ? 0 On consid`ere la matrice A = 3 −2 −1 2 −1 1 6 3 −2 . MX = 4X (car λ = 4). —. On pourrait montrer que les vecteurs X et Y suivants forment une base de E4 : De même, le vecteur Z suivant forme une base de E2 : On a alors deux possibilités : Nous avons alors 3 solutions : Remarquons d'abord que si M est conjuguée à une matrice diagonale D par le biais d'une matrice U ∈GL n, U−1MU = D alors les coe cients diagonaux de D sont des aleursv propres de M et les vecteurs colonnes de U sont des vecteurs propres de M. Réciproquement, si U est une matrice inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres de commutent deux à deux. Comparer. La matrice, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients complexes (qui sont toutes, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients réels trigonalisables sur ℝ (c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres —. —. D’où la propriété : — Quelques applications de la diagonalisation 1. Il s’agit d’une matrice triangulaire, donc les valeurs propres sont 4 et 3. u A l’aide de fonctions du sous module` numpy.linalg, d´eterminer les valeurs propres et une matrice de vecteurs propres pour : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . M – λ Id correspond à la matrice M avec des – λ sur la diagonale.
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