formule de taylor avec reste intégrale exercice corrigé

élèves comme Olive, c'est de bien poser les choses, et de ne pas démarrer trop vite, avant d'avoir assuré des bases solides dans le raisonnement entrepris. Exercice 2 - Partie finie - Quatrième année - ⋆ En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, on peut écrire. Soit I ˆR un intervalle ouvert. Wallis est donc antérieur à Newton. 10.b La fonction cosinus convient. 1. f est de classe C∞ sur[]0,1 , donc satisfait les hypothèses du théorème. R 2 1 2 1+ 1 x2 arctanxdx (changement de variable u= ) Indication H Correction H. Démonstration de la formule de l'intégration par parties . On utilise la formule de Taylor avec reste intégrale en zéro pour trouver que : . Fiches d'exercices de révision pour le brevet des collèges. Notations. Exercices - Transformation de Fourier:corrigé 1. Ce recueil de plus de 50 exercices corrigés a pour but d'illustrer les différentes techniques d'intégration et de calcul de primitives, en allant des plus classiques (consultation de la table des primitives. Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale. Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales Exercice 6 : espérance et variance d'une variable aléatoire continue Exercice 7 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable Exercice 8 : loi exponentielle sans mémoire et demi-vie Exercice 9 : durée de vie du carbone 14 Exercice 10. . I.A.2 Intégrer par parties et tenter la récurrence. Certains collègues commencent ce cours directement avec la déﬁnition de la primitive d’une fonction, et R b a f(x)dx := F(b) − F(a). La formule peut s'écrire, avec la convention f(0)(a) = f(a), f(b) = Xn k=0 (b ka) k! %�� f(k)(x 0)+h nε(h) oùε(h) estunefonctionquitendvers0 quandhtendvers0. La dernière modification de cette page a été faite le 21 mars 2018 à 09:28. 10.b La fonction cosinus convient. Dans ce cas la série de terme général u n =f(n) n∈ ℕ est elle-même à termes positifs décroissants. (à l'ordre w donne le polynôme de Taylor du développement limité de tan��) à l'ordre w en r. ��−�� 3 6 +�� 5 120 + (��5) ��−�� 3 2 +�� 5 24 + (��5) s−�� 2 2 +�� 4 24 + (��5) ��+�� 3 3 +2�� 5 15 �� 3 3 −�� 5 30 + (��5) �� 3 3 −�� 5 6 + (��5) 2�� 5 15 + (��5) 2�� 5 15 + (�. Pour cela nous utilisons une formule de Taylor qui donne une expression explicite du reste, la formule de Taylor avec reste intégral. En. Intégrale impropre convergente d'une fonction à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle. . 2. 6 Formules de Taylor 31 6.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer le d.l. Ondécoupel'intégraleen2,etonfaitlechangementdevariablesu= −tdanslapremière intégrale: fˆ(x) = Z 0 −∞ f. Cet ouvrage propose, sous une forme volontairement synthétique, l'ensemble des connaissances qui figurent au programme de mathématiques des classes préparatoires scientifiques, section MPSI. Preuve. 1.8. Avec la formule de Bessel-Parceval 16 π2 X∞ k=0 1 (2k+1)2 = 2 π Zπ 0 f(x)2dx= 2, d'où X∞ n=0 1 (2n+1)2 = π2 8. Puis retrouver ce résultat à partir du d.l. Écrire t2/2sous la forme d'une intégrale puis utilise, Formule de Taylor avec reste intégral Comme application importante de l'intégration par parties, démontrons le Exercice Démontrer ce théorème, en étudiant la fonction pour justifier le changement de variable. Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. La formule de Taylor avec reste intégral est une généralisation du théorème fondamental du calcul intégral, et s'obtient par récurrence en effectuant des intégrations par parties. 1) Déﬁnition. Partie régulière, reste d'un développement limité. . 1 Chapitre 11. 2e2x+ ex+ 1 e2x+ 1: Indications : 1. Intégrale impropre convergente d’une fonction à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle. Exercices corrigés sur les séries numériques 1 Enoncés Exercice 1 Soient ∑ an et ∑ bn deux séries à termes strictement positifs véri ant : 9n 2 N: 8n n ; an+1 an bn+1 bn: Montrer que (1) si ∑ bn converge, alors ∑ an converge; (2) si ∑ an diverge, alors ∑ bn diverge. An51 Formule de Taylor avec reste intégrale. On s’est eﬀorcé de … Soit x∈[]0,1 . 2x+ 1 x2(x+ 1)2 w: x! A l'aide de la formule de Taylor-Lagrange avec un reste à l'ordre 2 montrer que 10−2 est une valeur approchée à 5×10−5 près de sin(10−2). Les équations de Kolmogorov; 10.5. CORRIGES. Enoncer le théorème de Taylor-Lagrange, on notera +1 l’ordre du reste dans la formule. . Ceci montre d'une part que l'intégrale est convergente si ε tend vers 0, et d'autre part que 〈vp(1/x), φ〉 ≤ 2R‖φ ′ ‖ ∞ . Ceci est la formule de aylorT avec reste intégral à l'ordre n, appliquée à f, entre aet b. 1. 4. Remarques Le niveau naturel de cette lec¸on est celui du Deug. Corrigé de l'exercice 11 : Question 1, Développements limités-Calculs de limites Exercice 1. . La formule de Taylor, du nom du math´ematicien Brook Taylor qui l’´etablit en 1715, permet l’approximation d’une fonction plusieurs fois d´erivable au voisinage d’un point par un polynˆome dont les coeﬃcients d´ependent uniquement des d´eriv´ees de la fonction en ce point. III.5 - Formule de Taylor avec reste intégral Théorème 12 (Formule de Taylor avec reste intégral): si f est de classe Cn+1 sur un intervalle I et a ∈ I, alors : ∀x ∈ I, f(x) = Xn k=0 f(k)(a)(x− )k k! . er une primitive de la fonction ln( ) ( −1)2 à l'aide d'une intégration par parties. Pr´e-requis 1. . x2 + 3 (x+ 1)4; g: x! . La situation est illustrée par la figure ci-dessous: Nous allons examiner le lien entre la convergence de la série Exercices de probabilités corrigés - IECLbr>EI - EXERCICES DE PROBABILITES. Définition 4.1 : intégrale impropre convergente, reste, intégrale divergente (borne supérieure de l'intervalle) Théorème 4.1 : indépendance de convergence par rapport à la borne inférieure de l'intégrale Définition 4.2. ESCP 2000 En: ESCP 2000 Cor. Exercice 3 Déterminer le rayon de. On pose ∀n ∈ N, Wn = Zπ/2 0 sinn t dt. • On calcule wn: wn = nX+1 k=1 ln(k)−(n +1. . Formule de Taylor avec reste intégral (Formule de Taylor Lagrange). Savoir utiliser les relations de comparaison. b/ Calculer I1. Soit x∈[]0,1 . Rp 2 0 xsinxdx (intégration par parties) 2. QSP ESCP: QSP HEC: Exercices EDHEC et ECRICOME. Montrer que la fonction est croissante sur . Cette page regroupe 3 exercices sur les primitives.Les exercices utilisent la calculatrice de primitives pour effectuer les calculs de primitives et fournir les étapes de calcul permettant d'arriver au résultat.. Tous les exercices corrigés sont accompagnés de rappels de cours sur les primitives, de conseils méthodologiques permettant une évaluation et une progression autonome. Inégalité de Taylor-Lagrange. + Z x a (tnf(n+1)(n! Une fonction définie et continue au voisinage de admet un développement limité d'ordre au voisinage de s'il existe un polynôme de degré au plus tel que : Formule de Taylor. . 6. . Soit g la fonction définie sur R par g(t) = f(a + t(b − a)). . - Pour les calculs, l'utilisation de la calculatrice ou d'un logiciel de calcul formel peut être utile mais ne remplace pas le calcul eﬀectif. . Enoncer le théorème de Taylor-Lagrange, on notera +1 l'ordre du reste dans la formule. Permalien Niveau supérieur En réponse à Remy Canizares Fabre Re: Reste intégral DL. Exercice 2 Soient et deux réels. (on pourra effectuer une intégration par parties). En appliquant la formule de Taylor avec reste int´egrale entre x et 0, ainsi que la Formule de. Nous allons voir une démonstration de l’irrationalité de e. Soit : 0,1 ,[] x f xe →\ 6 et n un entier naturel, 2n ≥ . . . 1 x(x7 + 1) h: x! Notons alors cette dernière quantité α. α est dans +*, car c'est la norme au carré (attachée au produit scalaire ψ) d'un vecteur non nul (puisque normé) de E 1250 exercices corrigés de mathématiques pour Mpsi et Pcsi. Formules de Taylor. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 un élément de I. 1 (x2 + 1)2 v: x! carpediem formule de Taylor avec reste intégral 23-04-09 à 18:52 Citation : De façon générale, je crois que ce qui fait progresser les bons (voire très bons!) Par ailleurs, lorsque le signe du reste n est pas évident, on peut aussi étudier les variations. 31 6.1.1 Fonction d'une variable réelle à. aire, puis montrer que l'intégrale en jeu tend vers 0quand n tend vers l'inﬁni, Mathématiques PCSI-PTSI Calculer, raisonner, rechercher, modéliser, comprendre écrit par Hervé MULLER, Alexandre BOISSEAU, Eric GUICHET, éditeur BREAL, livre neuf année 2013, isbn 9782749532479. Exercices; Corrigés d'exercices. Exercices corrigés - Fonctions tests Dans la suite, $\mathcal D(\mathbb R^d)$ désigne l'espace des fonctions de classe $\mathcal C^\infty$ à support compact. derivee, extremum, convexite, inflexion, Taylor,developpement limite, DL. 2-/ l’entier naturel non nul n étant fixé, on note F n une primitive de la fonction xa(ln x)n sur l’intervalle ] Avertissement On trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur les séries entières classés (grossièrement) par thèmes. Le reste intégral est R n= Z b a (b t)n n! 2. f(n)(x 0)+h nε(h) = Xn k=0 hk k! Ainsi, le théorème je mets a votre disposition chers étudiants et chères étudiantes des exercices corrigés des mathématiques sur le thème: Développement Limité.Ces exercices vont vous aider à Appliquer la Formule de Taylor-Lagrange et d'autres formules et théorèmes, Maths 3ème - Exercices de mathématiques de 3ème au format PDF avec corrigés. Continuit´e, d´erivabilit´e, in´egalit´edes accroissements ﬁnis, th´eor`emede Rolle, d´erivabilit´e d’ordre sup´erieur, int´egration. R 1 0 3x+ (x+1)2 dx (décomposition en éléments simples) 5. Vous êtes ici: Accueil » math » 2 » demo » Preuve : formule de Taylor avec reste intégral Piste: • Preuve : formule de Taylor avec reste intégral math:2:demo:taylor_reste_integral La distribution est donc bien d'ordre inférieur ou égal à 1. On peut donc faire l'hypothèse que l'on ne connait pas ln(1/2) (ni donc ln(2)). Intégrale impropre convergente d'une fonction à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle. 17 Pour le prolongement par continuité, on peut se servir de la formule de Taylor-Young. + hn n! endobj 1. a Soit g la fonction définie sur R par g(t) = f(a + t(b − a)). Pour certaines fonctions f , le reste R n ( x ) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a . . Corrigé sans garantie. . Exercice n° 1 : calcul avec la formule de Wilson Avec les données suivantes, calculer Qe et N coût de passation Consommation annuelle prix unitaire taux de possession Qe N 150 10000 10 0,1 100 10000 10 0,1 150 10000 10 0,2 150 10000 10 0,05 50 10000 10 0,1 Exercice n°2 : calcul avec point de commande Sachant que : Le stock de sécurité est de 500, qui correspond à deux jours de ventes. Une transformation affine permet de transposer la formule sur un morceau particulier. Navigation interactive adaptée aux ordinateurs, tablettes, smartphones, Formule de Taylor avec reste sous la forme de Lagrange ; Formule de Taylor avec reste sous la forme de Young ; Exemples ; Existence et unicité du développement limité ; Développements limités des fonctions usuelles ; Techniques de calculs des développements limités ; Application à l'étude du graphe d'une fonction au voisinage d'un point ; Développement limité d'ordre 2 pour une. A l’aide de la formule de Taylor-Lagrange avec un reste à l’ordre 2 montrer que 10−2 est une valeur approchée à 5×10−5 près de sin(10−2). Cette propriété a été démontrée par la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre zéro. Changement de variable dans une intégrale : exercice corrigé en vidéo. Question 3 Application Montrer que la fonction est DSE sur . Remarque : cette formule est globale, elle permet d'approcher la fonction f par une fonction polynomiale de. Pour les élèves : 224 exercices corrigés. Mazao re : Formule de Taylor avec reste intégrale 11-01-09 à 17:34 C'est la seule idée que j'ai eu au vue du fait qu'il faut déduire le résultat de ces expressions Posté pa. Exercices corrigés de colles (ou khôlles) de mathématiques, donnés en prépa ATS et BL. Le changement de variables u = π 2 −t fournit ∀n ∈ N, Wn = Zπ/2 0. Les hypothèses nécessaires sont aussi de plus en plus fortes. Exercice 5.2. <>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/Annots[ 23 0 R 27 0 R 28 0 R 30 0 R 32 0 R] /MediaBox[ 0 0 595.4 841.8] /Contents 4 0 R/Group<>/Tabs/S/StructParents 0>> 1.9. Intégrales de Wallis John Wallis, mathématicien anglais, est né en 1616 et est mort en 1703. A. Cette réponse est évidemment fausse : l'ordre des quantiﬁcateurs impliquerait que x 7→ ex est une fonction polynomiale Exercices; On s'intéresse ici à la situation suivante: On considère une fonction f:ℝ+ → ℝ, que l'on suppose positive, continue et décroissante. . Formule de Taylor avec reste intégral : Soient I un intervalle de R, f(Cn+1(I, E) ; alors, pour tout couple (a, x)(I2 on a : f(x) = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 Un encadrement de la dérivée f(n+1)(t) fournit un encadrement de f(x). . ESCP 2001. Ici, la suite des restes ne tend pas vers 0, elle est au contraire constante et égale à f(x). Ces exercices sont dans l'ensemble assez di ciles, la di culté étant (très approximativement) indiquée. 6 Formules de Taylor 31 6.1 Formule de Taylor avec reste intégral . 4 0 obj Soit I ˆR un intervalle ouvert. Exercices corrigés 265 Chapitre 10• L'intégrale de Riemann 10.1 Introduction 279 10.2 Histoire de la construction des intégrales 279 10.3 Intégration des fonctions étagées 286 10.4 Propriétés de l'intégrale des fonctions étagées 288 10.5 Sommes de Darboux 291 10.6 L'intégrale de Riemann 29. Alors il existe un nombre tel que : (Rappels: est le symbole factorielle et sont les dérivées successives de f en a.) Exercices corrigés sur les séries entières 1 Enoncés Exercice 1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières ∑ anzn suivantes : an = lnn; an = (lnn)n; an = (p n)n; an = en 1=3; a n = nn n! Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. . La formule de Taylor avec reste. De plus, par un l´eger abus de notation, on identiﬁera un polynome P(X) = Pn i=0 aiX i avec la fonction polynomiale associ´ee x → P(x) d´eﬁnie sur R. Identit´es 1. Développements limités usuels: Définition. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr. Une séries d'exercices corrigés pour revisiter les savoirs faire usuels et les classiques... a renouveler. ��-��i�>|::��eot��B�^�&PI��x�?@��zt�v@��СP��3��=o�U9��F��]��;!��׵�7�0�~��(�`F2��t�oѻ*��;�y��. Attention toutefois à distinguer les cas x > a et x a. Permalien Niveau supérieur Changement de base; preuve de l'unicité de l'intégrale d'une fonction en escalier Examen HLMA206Y. La formule de quadrature fait intervenir des valeurs pondérées de la fonction (et. b. Cet ouvrage destiné aux élèves des classes préparatoires scientifiques, sections PCS. Ils t'aident pas mal quand même Tu as remarqué que pour passer de la 2ème à la 3ème ligne. Intégrale d'une fonction bornée . f est de classe C∞ sur[]0,1 , donc satisfait les hypothèses du théorème. f(k)(a)+ Z b a (b nt) n! 5 CALCUL DE SUITES 179 6 EXERCICES THÉORIQUES 191 7 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 229 8 SÉRIES ENTIÈRES ET INTÉGRALES 273 9 CONVERGENCE NORMALE ET UNIFORME 297 10 AUTRES EXERCICES 303 i. ii TABLE DES MATIÈRES . Elle n´ecessite la construction de l’int´egrale, nous la verrons donc au chapitre 5. On dit que la fonction f est dérivable en x 0 si et seulement si Les études locales et globales des fonctions se précisent avec la notion de convexité/concavité, d'extremums et de points d'inflexion. Elles sont de nature très. 2 0 obj Exercice 3 Calculer les coeﬃcients de Fourier réels de la fonction ftelle que, sur [−π,π], f(x) = x(π−x)(π+x). Établir les résultats : (a) Soit a > 0, n. Nous utilisons maintenant la formule de Taylor avec reste intégrale qu'on vient de revoir. Théorème 5 Soit une fonction de classe sur (c'est-à-dire fois dérivable, de dérivée -ième continue). . k E Une séries d'exercices corrigés pour revisiter les savoirs faire usuels et les classiques... a renouveler. Allez. Ishaq Ghanem l. 1.2. Achetez neuf ou d'occasio Exercice 7. Formule integrale de Cauchy Exercice 5.1. avec I(h) = R a+h a (a+h t)(n 1) (n 1)! Corrigé de l’exercice 5 : Le rayon de convergence est égal à car et a même rayon de convergence que . RB8_x��/T�IUD2�/b+�B�0-�` ��(Yхa��T�1��h}��M7��2��|��g��}��#�A̧GD\��>vH�>��)C ��Pb[B��@��̵��k�e� ��yuJY�!X�\��(�̠�'��[+k�V&��V��,C��;w�9��ӕml�-��b�ZLD^9�&G3�@{ǘT�~iǘr��Y]��6�~19�~8�� R��rDQ��,OPj㪑Ջe@�4�j�a��w��{~��y�عN&f��c�ϧ. 1. Formule de Taylor avec reste intégral de Laplace. Je voulais dire l'exercice 7 pas le 5. Formule de Taylor avec reste intégral Soit n un entier naturel, pour toute fonction f, ( n+1) dérivable sur un intervalle [a ; b] on a : Démonstration. Archives du mot-clé formule de taylor exercices corrigés Accueil / Articles étiquetés formule de taylor exercices corrigés F2School Mathématique analyse, analyse 2 exercices corrigés pdf, analyse 2 mipc, analyse s2 smpc exercices corrigés pdf, application calcul intégral, Calcul des Intégrales généralisées, Calcul intégral, calcul intégrale, calcul intégrale cours, calcul. Calculer le développement limité des fonctions f déﬁnies ci-dessous. Formule de Taylor-Young. Solution: La fonction est bien définie (intégrable car continue) et dérivable sur , avec sur . Son efficacité réside dans ses 300 exercices corrigés - dont la solution est entièrement rédigée et commentée -, qui mettent en situation toutes les méthodes et les astuces pour réussir en. PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 11 : Produit scalaire (Exercices : corrigé niveau 2). On peut ecrire, pour des constantes a;b;cbien choisies, f(x) = a(x+ 1) 2 + b(x+ 1) 3 + c(x+ 1) 4. 1. de la dérivée d'arctanx au voisinage de 1 sans utiliser la formule de Taylor-Young . R 1 0 (1+x2)2 dx (changement de variable x =tant) 2. Le premier est pour montrer que la somme exponentielle converge bien vers l'exponentielle (qui est par exemple définie par une équation différentielle). x3 1 + x4 u: x! Si la fonction est définie, continue et dérivable jusqu'à l'ordre sur un intervalle contenant alors le développement limité. . 2. Cours. Exercices série 4 : Formule de Taylor Applications Penser à la formule de Taylor pour traiter les points suivants : Étude de la dérivabilité de fonctions, étude locale de fonctions, développement en série des fonctions usuelles, calcul de limites, calcul d'équivalents. . de arctanx à l'ordre 3 au voisinage de 1. ons avec la formule de Taylor-Young très pratique si l'on n'a pas besoin d'information sur le reste. <>>> Vous trouverez quelques rappels de Maple tout au long du volume. Applications. Cours et exercices de mathéma Ajouté par: Arnaud Bodi Définitions Formule de quadrature. Théorème 3.7 : formule de Taylor avec reste intégral 4. Exercices de Colles de Sup Thomas Budzinski Janvier 2013 - Mai 2014 vAertissement Ce document est une compilation d'exercices de colles posés en HX3 au lycée Louis-le-Grand en 2012 2013 et 2013 2014, accompagnés de rapides éléments de solutions dont je ne garantis pas l'exactitude. Souvent ils demandent explicitement dans la question : « à l'aide d'une intégration par parties, calculer ». La formule de Feynman-Kac; 10.5. par Jeremy Nusa, mercredi 22 avril 2020, 14:49. . I.A.3 Changer de variable pour récupérer e−t dans l. Attention, la formule de Taylor avec reste intégral est une formule globale, qui donne une propriété valable sur tout un intervalle clairement donné, alors qu'un développement limité, notamment celui qui est donné par la formule de Taylor-Young, est une formule locale, valable seulement sur un voisinage d'un point, et l'on ne sait pas même quel voisinage, on sait seulement qu'il existe Exercices - Fonctions test: corrigé. Thème : Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme. dépendent pas du c choisi et que la somme de la formule (1) est la même quel que soit le c. 3 Exemple 5 1 1 + t2 a une intégrale convergente sur ]-& , +&[ et on a ⌡⌠ -& +& dt 1 + t2 = π (cf. Voir le Cours. (−). Exercice 13 : [corrigé] Enappliquant la formule deTayloravec resteintégralà la fonctiont → ln(1+ t) à l'ordre 2 et 3, en x 0 = 0 montrer que ∀x ≥ 0;x − x2 2 ≤ ln(1 +x) ≤ x− x2 2 + x3 3 Exercice 14 : [corrigé] (Q 1) En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction t → ln(1 + t) en x et x 0 = 0. On note le reste intégral de la formule de Taylor écrite à l'ordre pour entre et . Problème – partie III 10.a Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral rappelée à la question 3 de la partie préliminaire, puis montrer que l’intégrale en jeu tend vers 0quand n tend vers l’inﬁni. Écrire t2/2sous la forme d'une intégrale puis utilise, Formule de Taylor avec reste intégral Comme application importante de l'intégration par parties, démontrons le Exercice Démontrer ce théorème, en étudiant la fonction pour justifier le changement de variable. Calculer l'intégrale de chemin I z (z2 1)(z i) dz en utilisant. On suppose que la suite ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Ces exercices peuvent tout aussi intéresser des élèves d'autres filières, TSI, PCSI, PTSI, MPSI, Ces exercices ne sont pas forcément originaux, ce n'est pas d'ailleurs pas le but d'un sujet de colle, mais les corrections le sont. Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. En déduire les sommes suivantes : X∞ n=0 (−1)n (2n+1)3 et X∞ n=1 1 n6. Une deuxième remarque, vue dans le cours, c'est que x multiplié par la masse de Dirac en zéro, c’est égal à la valeur de x en zéro, c'est la valeur zéro multiplié par la masse de Dirac. En prenant ce reste en -1/2 afin d'obtenir ln(1/2), on obtient : . Une ancienne série avec corrections: EV-AL Enoncés 1 : EV-AL Enoncés 2: EV-AL 1 E+C: EV-AL 2 E+C: Une ancienne série avec corrections: Matrices 1 Enoncés: Matrice 2 Enoncés: Matrices 1 E+C: Matrices 2 E+C: QSP.
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